评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一步积分计算存在错误：对 \(y(1+x)e^{-y}\) 关于 \(x\) 积分时，错误地将 \(e^{-y}\) 视为常数，但忽略了 \(e^x\) 部分（实际上原题应为 \(f'_x(x,y) = y(1+x)e^{x-y}\)，但学生识别或抄写为 \(e^{-y}\)，导致积分错误）。积分结果应为 \(ye^{-y}(xe^x + C(y))\) 形式，但学生得到的是 \((x + x^2/2)ye^{-y} + \Phi(y)\)，这是对指数函数积分的基本错误。后续利用条件 \(f(1,y) = ye^{1-y}\) 求解 \(\Phi(y)\) 时，由于第一步积分错误，导致最终表达式错误。因此，本小题主要步骤错误，但利用初始条件求解积分常数的思路正确。扣分：积分计算错误扣4分，利用条件求解常数部分给2分。得分：2分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生基于错误的 \(f(x,y)\) 表达式计算了偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial y}\)，并正确设偏导数为零求驻点。但由于函数表达式错误，驻点求解无效。后续提到需要计算二阶偏导数和判别式 \(ac-b^2\)，但未给出具体计算过程和结果。因此，本小题中偏导数计算基于错误函数，但求极值的方法步骤正确。扣分：函数错误导致后续计算无效，但方法正确给部分分。得分：2分。

题目总分：2+2=4分