评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生第1次识别结果中，面积计算过程正确：正确写出面积积分表达式，通过三角代换 \(x = \tan t\) 将积分转化为 \(\int \frac{1}{\sin t} dt\)，并正确应用积分公式得到 \(\ln|\csc t - \cot t|\)，代入上下限后得到正确结果 \(\ln(1+\sqrt{2})\)。第2次识别结果也展示了完整的正确推导过程。因此该部分得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生第1次识别结果中，体积计算存在逻辑错误：在计算定积分 \(\pi\left[-\frac{1}{x}-\arctan x\right]_{1}^{+\infty}\) 时，错误地写为 \(\pi\left(1-(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})\right)\)，这导致最终结果错误。实际上应该是 \(\pi[(0-0) - (-1 - \frac{\pi}{4})] = \pi(1 + \frac{\pi}{4})\)，但学生得到的是 \(\pi - \frac{\pi^2}{4}\)。

第2次识别结果中，虽然计算过程写为 \(\pi\left(0 - 0 + 1 + \frac{\pi}{4}\right)\)，但最终结果仍错误地写为 \(\pi - \frac{\pi^2}{4}\)，存在明显的计算逻辑错误。由于最终答案错误，扣2分，得4分。

题目总分：6+4=10分