评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生通过计算 \(A^TA\) 的行列式并令其为零，得到 \(a = -1\)，思路正确且结果正确。但在计算 \(A^TA\) 时存在矩阵乘法错误（例如第一次识别中 \(A^TA\) 的计算结果明显有误），第二次识别中 \(A^TA\) 的计算正确。由于核心逻辑（秩为2导致行列式为零）正确，且最终得到正确结果 \(a = -1\)，仅扣除部分分数。得分：4分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生在第二部分存在多处错误：

• 特征值计算错误：标准答案为 \(0, 2, 6\)，学生计算为 \(2, 2, 4\)，属于严重逻辑错误。
• 特征向量求解过程存在计算错误（例如 \((2E - A^TA)\) 的矩阵写错，且化简过程有误）。
• 未对特征向量进行正交化和单位化，也未给出正交变换矩阵和标准形。

由于核心步骤（特征值、特征向量、正交变换）均错误或缺失，扣分较多。得分：1分。

题目总分：4+1=5分