评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是1，与标准答案一致。

该题需要先通过方程 \(y-x=e^{x(1-y)}\) 确定函数关系，然后计算极限 \(\lim _{n \to \infty} n[f(\frac{1}{n})-1]\)。

正确解法是：由原方程可得 \(f(x)-x = e^{x(1-f(x))}\)，当 \(x=0\) 时，代入得 \(f(0)-0=e^{0}\)，即 \(f(0)=1\)。

然后对原方程两边关于 \(x\) 求导，得到 \(y'-1 = e^{x(1-y)}[(1-y)-xy']\)。

代入 \(x=0, y=1\) 得 \(y'(0)-1 = e^0[(1-1)-0] = 0\)，所以 \(y'(0)=1\)。

最后，\(\lim _{n \to \infty} n[f(\frac{1}{n})-1] = f'(0) = 1\)。

学生直接给出答案1，虽然未展示过程，但结果正确，按照填空题评分标准应给满分。

题目总分：4分