评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"0"。根据题目条件，已知 \(A=(a_{ij})\) 是3阶非零矩阵，且满足 \(a_{ij} + A_{ij} = 0\)（其中 \(A_{ij}\) 是代数余子式）。

由条件可得 \(a_{ij} = -A_{ij}\)。记 \(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，则 \(A^* = (A_{ji})\)，所以条件可写为 \(A = - (A^*)^\text{T}\)。

又因为 \(A^* = |A| A^{-1}\)（当 \(A\) 可逆时），所以 \(A = - |A| (A^{-1})^\text{T}\)。两边取行列式：

\(|A| = - |A|^3 / |A| = - |A|^2\)，即 \(|A| + |A|^2 = 0\)，解得 \(|A| = 0\) 或 \(|A| = -1\)。

若 \(|A| = 0\)，则 \(A^* = 0\)，于是 \(A = 0\)，与 \(A\) 非零矛盾。因此 \(|A| = -1\)。

学生回答"0"忽略了矩阵非零的条件，导致逻辑错误，因此得0分。

题目总分：0分