评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

得分：4分

理由：学生正确写出了幂级数的二阶导数表达式，并利用递推关系将S''(x)转化为S(x)，从而证明了S''(x)-S(x)=0。证明思路正确，但存在以下问题：
1. 第一次识别中S''(x)的表达式写成了双重求和，这是错误的写法
2. 在推导过程中，从∑a_{n-2}x^{n-2}到∑a_nx^n的变换没有明确说明指标变换过程
考虑到核心证明思路正确，且第二次识别中表达式基本正确，扣1分。

（II）得分及理由（满分5分）

得分：2分

理由：学生正确写出了微分方程的特征方程并求出通解形式S(x)=C₁e^x+C₂e^(-x)，但在确定常数时出现严重错误：
1. 将S(0)=a₀=3错误写成了S(0)=0
2. 缺少对S'(0)=a₁=1的利用
3. 因此无法正确求出常数C₁和C₂
由于初始条件应用错误导致无法得到正确答案，扣3分。

题目总分：4+2=6分