评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

第一次识别结果：矩估计部分存在严重错误。概率密度函数写错为 \(f(x;\theta) = \frac{x^2}{\theta^3}e^{-x/\theta}\)（应为 \(\frac{\theta^2}{x^3}e^{-\theta/x}\)），导致计算错误。虽然最终得到 \(\hat{\theta} = \overline{X}\)，但推导过程错误。扣4分，得1.5分。

第二次识别结果：矩估计部分概率密度函数仍写错为 \(\frac{\theta}{x^2}e^{-\theta/x}\)（应为 \(\frac{\theta^2}{x^3}e^{-\theta/x}\)），变量替换 \(t = -\theta/x\) 错误，积分计算过程混乱。虽然最终得到 \(\hat{\theta} = \overline{X}\)，但推导过程完全错误。扣4分，得1.5分。

取两次识别较高分：1.5分

（2）得分及理由（满分5.5分）

第一次识别结果：似然函数写错为 \(L(\theta) = \frac{1}{\theta^{2n}}\prod e^{-\theta/x_i}\)（缺少 \(x_i^{-3}\) 项），对数似然函数中多出 \(-\sum \frac{1}{x_i}\ln x_i\) 项。但求导后得到正确方程 \(\frac{2n}{\theta}-\sum\frac{1}{x_i}=0\)，最终得到正确结果 \(\hat{\theta} = \frac{2n}{\sum 1/x_i}\)。由于推导过程有错误但结果正确，扣2分，得3.5分。

第二次识别结果：似然函数写错为 \(L(\theta) = \theta^n(\prod X_i^{-2})e^{-\theta\sum 1/X_i}\)（应为 \(\theta^{2n}(\prod X_i^{-3})e^{-\theta\sum 1/X_i}\)），导致对数似然函数为 \(n\ln\theta\)（应为 \(2n\ln\theta\)），最终得到错误结果 \(\hat{\theta} = \frac{n}{\sum 1/X_i}\)。推导过程和结果均错误，扣5分，得0.5分。

取两次识别较高分：3.5分

题目总分：1.5+3.5=5分