评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为：\(k(1,1,-1,-1)^T + (5,4,-4,0), k \in R\)。

标准答案为：\(k\begin{pmatrix}1\\1\\ - 1\\ - 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\\4\end{pmatrix}\)，其中 \(k\) 为任意常数。

分析：

• 齐次解部分：学生给出的齐次解向量 \((1,1,-1,-1)^T\) 与标准答案一致，这是正确的。
• 特解部分：学生给出的特解为 \((5,4,-4,0)^T\)，而标准答案为 \((1,0,0,4)^T\)。
• 验证特解：已知条件 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\)，可改写为 \(a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0\)，即齐次方程的一个解向量为 \((1,1,-1,-1)^T\)。对于非齐次方程 \(Ax = a_1 + 4a_4\)，需要找到一个特解 \(x_p\) 使得 \(Ax_p = a_1 + 4a_4\)。
• 计算验证：设 \(x_p = (1,0,0,4)^T\)，则 \(Ax_p = a_1 + 4a_4\)，符合要求。而学生的特解 \((5,4,-4,0)^T\) 代入：\(A(5,4,-4,0)^T = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)。利用 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\)，即 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)，代入 \(a_1 + 4a_4 = a_1 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)，恰好等于 \(A(5,4,-4,0)^T\)。因此学生的特解也是正确的。
• 结论：学生的答案虽然与标准答案形式不同，但经过验证，其特解满足方程，且齐次解正确，因此整个通解表达式是正确的。根据评分规则，思路正确不扣分，即使形式不同，只要正确即可得分。

得分：5分

题目总分：5分