评分及理由

（1）求函数表达式得分及理由（满分6分）

学生通过积分得到 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + c(y) \)，思路正确。但在对y积分时出现逻辑错误：写成了 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + 2e^{-y} + ye^{-y} + c(x) \)，这混淆了关于y的积分常数与关于x的函数。不过最终表达式 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + 2e^{-y} + ye^{-y} \) 与标准答案一致，且利用 \( f(0,0) = 2 \) 确定了常数。考虑到最终结果正确，但中间过程有混淆，扣1分。

得分：5分

（2）求驻点得分及理由（满分3分）

学生正确写出偏导数方程组并解得驻点 \((0,-1)\)，与标准答案一致。

得分：3分

（3）判断极值得分及理由（满分3分）

学生正确计算了二阶偏导数 \( A, B, C \)，但在第二次识别中 \( C \) 的表达式 \( e^{-y}(y - x^2) \) 有误（应为 \( e^{-y}(x^2 - y) \)）。不过代入驻点后得到 \( C = -e \)，与标准答案一致。计算 \( AC - B^2 = 2e^2 > 0 \) 且 \( A < 0 \)，判断极大值正确，极大值计算正确。由于 \( C \) 的表达式有误但代入值正确，扣1分。

得分：2分

题目总分：5+3+2=10分