评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中给出了两种解法：

• 第一种解法（第1次识别结果）：从极坐标变换开始，正确写出积分表达式 \(\int_{0}^{\pi} d\theta \int_{0}^{1+\cos\theta} r^3 \sin\theta \cos\theta dr\)，并对 \(r\) 积分得到 \(\frac{1}{4}(1+\cos\theta)^4\)。然后通过代换 \(t = \cos\theta\) 将积分转化为 \(-\frac{1}{4} \int_{1}^{-1} (1+t)^4 t dt\)，并正确计算得到 \(\frac{16}{15}\)。整个过程逻辑清晰，计算正确，无错误。
• 第二种解法（第2次识别结果）：同样从极坐标变换开始，正确写出积分表达式，并对 \(r\) 积分。在代换后，学生将 \((1+t)^4 t\) 展开为多项式，并利用奇偶性简化积分，最终正确计算得到 \(\frac{16}{15}\)。此外，学生还提供了另一种展开方式，直接对 \(\cos\theta\) 的幂次积分，并正确代入上下限计算，结果正确。

两种解法均思路正确，计算无误，且最终答案与标准答案一致。根据打分要求，思路正确不扣分，逻辑错误需扣分，但学生作答无逻辑错误。因此，本题得满分10分。

题目总分：10分