评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答中定义了正确的函数 \(f(x) = x \ln \frac{1+x}{1-x} + \cos x - 1 - \frac{x^2}{2}\)，并计算了一阶导数 \(f'(x) = \ln \frac{1+x}{1-x} + \frac{2x}{1-x^2} - \sin x - x\)，这与标准答案的第一步完全一致，思路正确。

然而，学生在后续步骤中出现了逻辑错误：

• 将 \(\ln \frac{1+x}{1-x}\) 错误地展开为 \(\ln(1 + \frac{2x}{1-x})\)，这是不正确的恒等变换，因为 \(\frac{1+x}{1-x} \neq 1 + \frac{2x}{1-x}\)。
• 提出要证明 \(x \ln \frac{1+x}{1-x} \geq 1 - \cos x + \frac{x^2}{2}\)，但这与原不等式等价性未经过验证，且后续没有给出任何证明过程，无法判断其正确性。

由于学生没有完成对 \(f'(x)\) 符号的分析，也没有利用单调性证明 \(f(x) \geq 0\)，证明过程不完整且存在关键逻辑错误。

根据评分要求，逻辑错误需扣分。考虑到学生正确定义了函数和导数，但后续证明思路错误且不完整，给予部分分数。

得分：4分（满分11分）

题目总分：4分