评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确定义了函数 \(f(x)\) 并计算了导数 \(f'(x)\)，正确指出在区间 \([\frac{1}{2},1]\) 上 \(f'(x)>0\)，因此函数单调递增。正确计算了端点值 \(f(1)=n-1>0\) 和 \(f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{2^n}<0\)，并应用了连续函数介值定理和单调性得出在 \((\frac{1}{2},1)\) 内有且仅有一个实根。证明过程完整，逻辑正确。

得分：6分

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确写出方程 \(x_n^n+x_n^{n-1}+\cdots+x_n=1\) 并化为等比数列求和形式 \(\frac{x_n(1-x_n^n)}{1-x_n}=1\)，但推导 \(x_n=\frac{1+x_n^{n+1}}{2}\) 这一步有误（正确应为 \(x_n(1-x_n^n)=1-x_n\)，整理得 \(2x_n=1+x_n^{n+1}\)，所以 \(x_n=\frac{1+x_n^{n+1}}{2}\)，这里学生写对了）。

主要问题在于极限部分的论证：学生直接说 \(\lim_{n\to\infty}\frac{1+x_n^{n+1}}{2}=\frac{1}{2}\)，然后得出 \(\lim_{n\to\infty}x_n=\frac{1}{2}\)。这里缺少关键步骤：需要证明 \(x_n^{n+1}\to 0\)（因为 \(x_n\in(\frac{1}{2},1)\)，但 \(x_n\) 可能接近1，不能直接得出 \(x_n^{n+1}\to 0\)）。标准答案使用了拉格朗日中值定理和夹逼定理严谨证明了极限，而学生的方法存在逻辑漏洞。

由于极限论证不严谨，扣2分。

得分：3分

题目总分：6+3=9分