评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生通过计算 \(A^T A\) 的行列式并令其为零来求解 \(a\) 的值，思路正确。计算过程中，行列式展开和化简正确，得到 \(\vert A^T A\vert = (a+1)^2(a^2+3)\)，并正确得出 \(a = -1\)。尽管标准答案使用初等行变换求秩的方法，但学生的方法也是有效的，且结果一致。因此，本部分得满分11分。

（2）得分及理由（满分0分）

题目要求分为两部分：(I) 求实数 \(a\) 的值；(II) 求正交变换将 \(f\) 化为标准形。学生只完成了第(I)部分，未涉及第(II)部分。因此，本部分得0分。

题目总分：11+0=11分