评分及理由

（1）求函数 \(f(x,y)\) 的表达式（满分4分）

得分：4分

理由：学生正确地从 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 对 y 积分得到 \(f_x'(x,y)=(y^2+2y)e^x+\varphi(x)\)，利用条件 \(f_x'(x,0)=(x+1)e^x\) 确定 \(\varphi(x)=(x+1)e^x\)，然后对 x 积分得到 \(f(x,y)=(y^2+2y+x)e^x+C\)，最后利用 \(f(0,y)=y^2+2y\) 确定 C=0。整个过程逻辑正确，计算无误。

（2）求驻点（满分3分）

得分：3分

理由：学生正确计算偏导数 \(f_x'(x,y)=e^x(y^2+2y+x+1)\) 和 \(f_y'(x,y)=(2y+2)e^x\)，令偏导数为零解得驻点 (0,-1)。求解过程正确。

（3）判断极值（满分3分）

得分：1分

理由：学生正确计算了二阶偏导数 \(f_{xx}''=(y^2+2y+x+1)e^x\)，\(f_{xy}''=(2y+2)e^x\)，\(f_{yy}''=2e^x\)。但在计算驻点处的 A 值时出现错误：将 \(y=-1\) 代入时计算为 \((1-2+0+1)e^0=0\)，实际上应为 \(((-1)^2+2×(-1)+0+1)e^0=(1-2+0+1)=0\)，虽然数值巧合为0，但学生后续判断 \(AC-B^2=0\) 时无法确定极值情况。然而学生仍然得出了 \(f(0,-1)=-1\) 为极值的结论，这部分推理不完整。考虑到学生正确找到了驻点并计算了函数值，但极值判断不严谨，扣2分。

题目总分：4+3+1=8分