评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，第一次识别结果和第二次识别结果内容基本一致，均给出了正确的导数计算、单调性分析和零点存在性讨论。具体分析如下：

• 导数计算正确：\(f'(x) = (2x-1)\sqrt{1+x^2}\)，与标准答案一致。
• 单调性分析正确：指出当\(x < \frac{1}{2}\)时\(f(x)\)单调递减，当\(x > \frac{1}{2}\)时\(f(x)\)单调递增，正确找到驻点\(x = \frac{1}{2}\)。
• 零点存在性讨论：学生利用\(f(1) = 0\)和单调性，指出在\((\frac{1}{2}, 1)\)上\(f(x) < 0\)，在\((1, +\infty)\)上\(f(x) > 0\)，从而在\((1, +\infty)\)上有一个零点；在\((-\infty, \frac{1}{2})\)上单调递减且连续，结合极限行为（虽然没有显式计算极限，但通过单调性和连续性能推断出存在零点）得出该区间有一个零点，且唯一。

然而，学生作答存在以下逻辑错误：

• 在分析\((-\infty, \frac{1}{2})\)区间零点存在性时，学生没有计算\(x \to -\infty\)时的极限值来证明函数值趋于正无穷（标准答案中为\(+\infty\)），仅凭单调递减和连续性就断言存在零点，逻辑不够严谨。但结合上下文，学生可能默认了函数在负无穷处的行为，且结论正确，因此扣1分。
• 在分析\((\frac{1}{2}, +\infty)\)区间时，学生直接使用\(f(1) = 0\)和单调性得出零点，但未考虑最小值\(f(\frac{1}{2}) < 0\)（标准答案中计算了最小值并证明为负），这一步骤缺失导致逻辑不完整，扣1分。

综上，学生思路正确，结论正确，但关键步骤（极限和最小值计算）缺失，逻辑不够严密。根据打分要求，逻辑错误扣分，但思路正确不扣分，因此扣除2分。

得分：8分（满分10分）。

题目总分：8分