2025年考研数学（二）考试试题 - 第16题回答

好的，我们先从题目本身分析，再对照学生的答案来评分。 --- ## 1. 题目分析 已知 \[ A = (a_1, a_2, a_3, a_4) \] \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，且 \[ a_1 + a_2 = a_3 + a_4 \] 即 \[ a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0 \] 所以 \[ A \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} = 0 \] 说明 \(\xi = (1,1,-1,-1)^T\) 是 \(Ax=0\) 的一个非零解。 又因为 \(a_1,a_2,a_3\) 线性无关，所以 \(r(A) \ge 3\)，而 \(Ax=0\) 有非零解 \(\xi\)，所以 \(r(A) \le 3\)，因此 \(r(A)=3\)，解空间维数为 \(4-3=1\)，所以 \(Ax=0\) 的通解为 \(k\xi\)。 --- 求 \(Ax = a_1 + 4a_4\) 的一个特解。 由 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\) 得 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)。 于是 \[ a_1 + 4a_4 = a_1 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3 \] 所以 \[ A \begin{pmatrix}5 \\ 4 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix} = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3 \] 但题目给的是 \(a_1 + 4a_4\)，我们验证一下： \[ a_1 + 4a_4 = a_1 + 4a_1 + 4a_2 - 4a_3 = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3 \] 正确。 所以特解可取 \(x_0 = (5,4,-4,0)^T\)。 --- 但标准答案是 \(x_0 = (1,0,0,4)^T\)，我们检验： \[ A(1,0,0,4)^T = a_1 + 4a_4 \] 确实成立。 其实这两个特解差一个齐次解： \[ (5,4,-4,0)^T - (1,0,0,4)^T = (4,4,-4,-4)^T = 4\xi \] 所以等价。 --- **标准答案*...

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