评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答中第18题部分：

• 第一步：学生正确计算了分母的等价无穷小：\(\ln(1+x)+\ln(1-x) \sim -x^2\)，与标准答案一致。
• 第二步：学生对分子中的\(e^{2\sin x}\)展开有误，标准答案为\(e^{2\sin x} = 1 + 2\sin x + 2\sin^2 x + o(x^2)\)，而学生写为\(1 + 2x + 2x^2 + o(x^2)\)，此处将\(\sin x\)直接替换为\(x\)，忽略了\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\)的高阶项，导致展开错误。这是一个逻辑错误，因为展开不准确会影响后续极限计算。
• 第三步：学生基于错误展开得到\(\lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - 2x - 2x^2}{-x^2}\)，并进一步推导出\(\lim_{x \to 0} \frac{2 - f(x)}{x} = -5\)。尽管展开有误，但最终极限表达式与标准答案一致（标准答案中为\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 2}{x} = 5\)，学生结果为\(\lim_{x \to 0} \frac{2 - f(x)}{x} = -5\)，等价于\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 2}{x} = 5\)）。
• 第四步：学生正确利用连续性得出\(f(0) = 2\)，并计算\(f'(0) = 5\)，结论正确。
• 总体：思路正确，但关键步骤（分子展开）存在逻辑错误，扣分。由于错误未影响最终结果，扣分幅度较小。
• 得分：10分（满分12分）。扣分理由：分子展开错误（-2分）。

题目总分：10分