评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确使用了变换 \( x = e^t \) 来化简方程，并正确计算了一阶导数和二阶导数。代入原方程后得到 \(\frac{d^2y}{dt^2} - 9y = 0\)，并正确求解特征方程得到通解 \( y = C_1 x^3 + C_2 x^{-3} \)。利用初始条件 \( y|_{x=1} = 2 \) 和 \( y'|_{x=1} = 6 \) 正确解得 \( C_1 = 2, C_2 = 0 \)，从而得到 \( y = 2x^3 \)。整个过程逻辑正确，计算无误。但在第一次识别结果中，将初始条件 \( y'|_{x=1} = 6 \) 误写为 \( y|_{x=1} = 6 \)，但根据后续方程组正确列出并求解，判断为误写，不扣分。因此，第(1)部分得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确代入 \( y = 2x^3 \) 得到积分 \( 2\int_{1}^{2} x^3 \sqrt{4 - x^2} \, dx \)，并采用三角代换 \( x = 2\sin t \) 进行计算。代换过程正确，积分上下限转换正确（\( x=1 \) 时 \( t=\frac{\pi}{6} \)，\( x=2 \) 时 \( t=\frac{\pi}{2} \)）。在第一次识别结果中，积分表达式误写为 \( \sqrt{4 + x^2} \)，但后续计算仍使用 \( \sqrt{4 - x^2} \)，判断为误写，不扣分。积分化简为 \( 64\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 t \cos^2 t \, dt \) 正确，但第一次识别结果中积分限误写为 \( \frac{\pi}{6} \) 到 \( \frac{3\pi}{2} \)，而第二次识别结果正确，且最终答案正确为 \( \frac{22}{5}\sqrt{3} \)。由于最终答案正确，且主要步骤无误，误写不影响逻辑，因此第(2)部分得满分6分。

题目总分：6+6=12分