评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

第1次识别中，定义Φ(x)=∫₀^{x²}f(t)dt是错误的，因为题目给出的条件是∫₀¹f(x)dx=1，应该定义Φ(x)=∫₀ˣf(t)dt。这个定义错误导致后续推导Φ(1)=1不成立，因此第一部分证明存在逻辑错误。

第2次识别中，正确定义了Φ(x)=∫₀ˣf(t)dt，且正确应用拉格朗日中值定理得到存在ξ₁使f(ξ₁)=1，再结合f(1)=1应用罗尔定理得到存在ξ∈(ξ₁,1)使f'(ξ)=0。证明思路正确，逻辑完整。

由于第2次识别正确，根据"只要其中有一次回答正确则不扣分"的原则，给满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

第1次识别中，F(0)=f(0)+0²=0，但学生写成F(0)=1，这是计算错误。F(ξ₁)的计算也有问题。

第2次识别中，正确构造F(x)=f(x)+x²，F(0)=0，F(1)=2，F(ξ₁)=1+ξ₁²。但在计算F'(η₁)时，应该是[F(ξ₁)-F(0)]/(ξ₁-0)=[1+ξ₁²-0]/ξ₁=1/ξ₁+ξ₁，学生计算正确。F'(η₂)=[F(1)-F(ξ₁)]/(1-ξ₁)=[2-(1+ξ₁²)]/(1-ξ₁)=(1-ξ₁²)/(1-ξ₁)=1+ξ₁，计算正确。

最后得到F''(η)<0，即f''(η)+2<0，所以f''(η)<-2。证明思路正确，逻辑完整。

由于第2次识别正确，给满分5.5分。

题目总分：5.5+5.5=11分