评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确建立了微分方程：由切线在y轴截距等于点到y轴距离得到方程 \(y - xy' = x\)，整理为 \(y' - \frac{1}{x}y = -1\)。虽然第一次识别中计算过程有跳步，第二次识别中出现了积分计算错误（计算 \(\int -x dx = -\frac{1}{2}x^2\)），但最终通过正确的方法得到了通解 \(y = x(C - \ln x)\)，并利用初始条件 \(y(e^2) = 0\) 求出 \(C = 2\)，得到正确答案 \(y(x) = x(2 - \ln x)\)。考虑到识别可能导致的错误，且核心逻辑正确，扣1分。

得分：4分

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确求出切线斜率 \(k = 1 - \ln x\)，但在计算截距时出现错误：y轴截距应为 \(y - xy' = x\)（由第(1)问已知），x轴截距应为 \(\frac{x}{\ln x - 1}\)。学生给出的截距表达式 \(y - 1 + \ln x\) 和 \(\frac{y - 1 + \ln x}{1 - \ln x}\) 是错误的，导致面积表达式 \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{(y - 1 + \ln x)^2}{1 - \ln x}\) 也是错误的。后续的求导和极值分析完全缺失。

得分：1分（仅给求出切线斜率的分数）

题目总分：4+1=5分