评分及理由

（1）极坐标变换及区域设定（满分3分）

学生正确识别了区域边界：由曲线 \(x^2+y^2-xy=1\)、\(x^2+y^2-xy=2\) 和直线 \(y=\sqrt{3}x\)、\(y=0\) 围成，并正确给出了极坐标下的角度范围 \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\)。曲线方程在极坐标下应为 \(r^2(1-\frac{1}{2}\sin 2\theta)=1\) 和 \(r^2(1-\frac{1}{2}\sin 2\theta)=2\)，学生正确写出了这个形式。但在第1次识别中写成了 \(\sin\theta\) 而不是 \(\sin 2\theta\)，这可能是识别错误，根据禁止扣分规则第1条，判断为误写不扣分。但在第2次识别中正确写出了 \(\sin 2\theta\)。因此，这部分基本正确，得3分。

（2）积分表达式建立（满分3分）

学生正确将二重积分转化为极坐标形式：\(\iint_D \frac{1}{3x^2+y^2}dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{3}} d\theta \int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r^2(3\cos^2\theta+\sin^2\theta)} \cdot r dr\)。虽然在第1次识别中分母写成了 \(2\cos^2\theta+1\)，但实际上是等价的，因为 \(3\cos^2\theta+\sin^2\theta = 2\cos^2\theta+1\)。积分限设置正确，得3分。

（3）对r积分计算（满分3分）

学生对r积分：\(\int_{r_1}^{r_2} \frac{1}{r} dr = [\ln r]_{r_1}^{r_2} = \ln\frac{r_2}{r_1}\)。从曲线方程可得 \(\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2}\)，所以结果为 \(\ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2\)。计算正确，得3分。

（4）对θ积分计算（满分3分）

积分化为 \(\frac{1}{2}\ln 2 \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3\cos^2\theta+\sin^2\theta} d\theta\)。学生正确将其转化为 \(\frac{1}{2...