评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确应用了变换 \(x = e^t\)，推导了 \(y'\) 和 \(y''\) 的表达式，并成功将原方程化简为常系数线性微分方程 \(y_t'' - 9y = 0\)。通解形式正确，并利用初值条件正确求出 \(C_1 = 2, C_2 = 0\)，得到 \(y = 2x^3\)。过程完整，逻辑正确，与标准答案一致。因此得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出积分表达式 \(\int_{1}^{2} 2x^3 \sqrt{4 - x^2} \, dx\)，并采用三角代换 \(x = 2\sin t\)，正确变换积分限和微分，得到 \(\int_{\pi/6}^{\pi/2} 64 \sin^3 t \cos^2 t \, dt\)。进一步变形为关于 \(\cos t\) 的积分，计算过程正确，最终结果 \(\frac{22}{5}\sqrt{3}\) 与标准答案一致。虽然代换方法与标准答案不同（标准答案用 \(t = \sqrt{4 - x^2}\)，学生用三角代换），但思路正确且结果正确，不扣分。因此得满分6分。

题目总分：6+6=12分