评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答得分为：0分。

理由如下：

1. 核心逻辑错误：题目要求证明导函数 \(f'(x)\) 严格单调增加的充要条件是割线斜率不等式。学生的证明思路存在根本性错误。
   • 在证明充分性时（即由不等式推出 \(f'(x)\) 严格单调增），学生错误地使用了罗尔定理（应为拉格朗日中值定理）得到 \(f'(\xi_1)\) 和 \(f'(\xi_2)\)，这步尚可理解（可能是笔误）。但后续逻辑严重错误：学生试图通过存在一个 \(\eta \in (\xi_1, \xi_2)\) 使得 \(f''(\eta) = \frac{f'(\xi_2)-f'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1}\) 来论证。这需要用到拉格朗日中值定理于 \(f'(x)\)，但前提是 \(f'(x)\) 在 \([\xi_1, \xi_2]\) 上可导，即 \(f(x)\) 二阶可导，而题目条件仅给出 \(f(x)\) 在区间内可导，并未给出二阶可导的条件。因此，使用 \(f''(\eta)\) 是无效的，属于擅自加强条件。
   • 学生由 \(f'(\xi_1) < f'(\xi_2)\) 推出 \(f''(\eta) > 0\)，并进一步声称“\(\eta\) 是 \((a,b)\) 内任意的值”，从而得出 \(\forall \eta \in (a,b), f''(\eta)>0\)，这完全不合逻辑。\(\eta\) 的存在依赖于 \(\xi_1, \xi_2\)，而 \(\xi_1, \xi_2\) 又依赖于 \(x_1, x_2, x_3\)，不能得出对任意 \(\eta\) 都成立。即使 \(f''(\eta)>0\) 成立，也只能推出 \(f'(x)\) 严格单调增，但推理过程无效。
   • 学生的证明完全忽略了标准答案中通过取极限得到单侧导数不等式并传递的关键步骤，其论证无法成立。
2. 必要性证明缺失或错误：学生作答末尾的“二者相同情况”或“二者相同.得证.”非常模糊，没有清晰展示必要性部分（即由 \(f'(x)\) 严格单调增推出割线斜率不等式）的证明过程。从内容看，学生似乎试图用同一套（错误的）二阶导数逻辑来证明双向，这不能构成有效证明。
3. 结论：该作答在充分性证明部分存在严重的逻辑跳跃和错误使用未给定条件（二阶可导），必要性证明部分基本缺失或无效。因此，该解答未能正确证明题目的充要条件，根据评分标准，应...