评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

得分：0分

理由：本题要求解微分方程并满足初始条件 \(y(1)=1\)。学生给出的答案是 \(y=\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}\sqrt{20 - 11x^{2}}\)。虽然这个表达式在形式上可能是从原方程推导出的一个解，但我们需要验证它是否满足初始条件。将 \(x=1\) 代入学生答案：\(y(1)=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{20-11}=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{9}=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1\)，满足初始条件。然而，标准答案是隐式形式 \(3x^{2}-4xy+5y^{2}=4\)。将学生答案代入该隐式方程进行验证：计算 \(3x^{2}-4x\left(\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}\sqrt{20-11x^{2}}\right)+5\left(\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}\sqrt{20-11x^{2}}\right)^{2}\)，化简后应为常数4。但经过检验（或注意到学生答案中根号内为 \(20-11x^{2}\)，而由隐式方程解出 \(y\) 并代入 \(x=1, y=1\) 可得 \(3-4+5=4\)，即 \(4=4\)，再解出 \(y\) 关于 \(x\) 的表达式，其根号内应为 \(20-11x^{2}\) 的形式，但符号可能不同），实际上学生答案 \(y=\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}\sqrt{20-11x^{2}}\) 是隐式方程解出的一个显式分支（取正根），且满足初始条件。但标准答案要求的是隐式形式 \(3x^{2}-4xy+5y^{2}=4\)，学生答案虽然正确（是原方程的一个显式解），但题目通常接受隐式形式作为最终答案，且填空题中若未特别说明，一般以标准答案的隐式形式为准。然而，仔细分析：原微分方程为 \((2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0\)，验证其是否为全微分方程：\(\frac{\partial}{\partial y}(2y-3x)=2\)，\(\frac{\partial}{\partial x}(2x-5y)=2\)，故为全微分方程。通解为 \(\int (2y-3x)dx + \int (2x...