评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为：\(k(1,1,-1,-1)^T + (0,0,1,4)^T, k \in \mathbb{R}\)。

标准答案为：\(k\begin{pmatrix}1\\1\\ - 1\\ - 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\\4\end{pmatrix}\)，\(k\)为任意常数。

对比可知，学生答案的特解部分为 \((0,0,1,4)^T\)，而标准答案为 \((1,0,0,4)^T\)。我们需要验证哪个是正确的。

已知条件：\(A = (a_1, a_2, a_3, a_4)\)，且 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，\(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\)。方程组为 \(Ax = a_1 + 4a_4\)。

1. 由 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\) 可得 \(a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0\)，即 \(A \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} = 0\)。所以 \(\eta = (1,1,-1,-1)^T\) 是齐次方程组 \(Ax=0\) 的一个非零解。由于 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，且 \(a_4\) 可由它们线性表示（由 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)），所以 \(r(A)=3\)，故齐次通解为 \(k\eta\)。
2. 需要求非齐次方程 \(Ax = a_1 + 4a_4\) 的一个特解。将 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\) 代入右端：\(a_1 + 4a_4 = a_1 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)。因此，方程等价于 \(x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)。将 \(a_4\) 用 \(a_1, a_2, a_3\) 表示，得：
   \(x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 (a_1 + a_2 - a_3) = (x_1 + x_4)a_1 + (x_...