评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确计算得到 a=4，并得出 A 的特征值为 3,6,0，从而由合同知正惯性指数为 2，得到 k>0。但 k 的取值范围表述为 (0, +∞) 不够精确，因为合同只要求正负惯性指数相同，k 可以是任意正数，但标准答案中强调 k>0 即可，因此这里不扣分。然而，学生在第一步中写“r(A)=r(B)<3”作为推理起点，虽然结论正确，但理由不严谨（合同矩阵的秩相等，但秩小于3是因为有零特征值，而不是直接由合同推出秩小于3），不过最终结果正确，且核心步骤（|A|=0 求 a，求特征值，由惯性指数得 k>0）都正确。因此扣1分，得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确得出 k=3（因为正交相似则特征值相同），并正确求出三个特征值对应的特征向量，且注意到它们已经两两正交，然后进行单位化。但在构造正交矩阵 Q 时，学生给出的 Q 矩阵形式与标准答案不一致：标准答案中第二列是 (-1/√2, 0, 1/√2)^T，而学生给出的是 (1/√2, 0, -1/√2)^T，这实际上是同一个特征向量方向取反，仍然是单位特征向量，因此也是正确的；但学生将 Q 写成了带有 √2、√3 的分式形式，实际上就是标准答案中的矩阵（只需将第二列乘以 -1 即相同）。因此整个解答逻辑正确，结果等价。但学生在 Q 的最终表达中未化简为最简分数形式，而是保留了 √6 分母，这并不错误。因此不扣分，得6分。

题目总分：5+6=11分