评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答包含两次识别结果，内容基本一致。整体思路正确：先对函数进行偶延拓，计算傅里叶余弦系数 \(a_0\) 和 \(a_n\)，写出余弦级数展开式，然后令 \(x=0\) 代入以求解目标级数之和。

具体步骤中：

1. 计算 \(a_0\) 的过程和结果正确。
2. 计算 \(a_n\) 时，第一次识别结果中在积分符号内误写为 \(\cos n\pi x\)，但后续计算中已更正为 \(\cos nx\)，且最终结果正确。第二次识别结果给出了详细的分部积分过程，逻辑清晰，结果正确。
3. 写出余弦级数展开式正确。
4. 通过令 \(x=0\) 求解级数和的过程正确，最终答案 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} = \frac{\pi^2}{12}\) 正确（注意学生答案中求和符号下标为 \(n=1\)，与标准答案形式等价）。

因此，该解答逻辑完整，计算无误，应得满分。

题目总分：11分