评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答中给出了两种识别结果，但核心思路与标准答案一致，均通过递推关系证明行列式。第一次识别结果中递推式写为 \( |A| = 2aD_{n-1} + a^2 D_{n-2} \) 有误（应为 \( D_n = 2aD_{n-1} - a^2 D_{n-2} \)），但第二次识别结果已更正为正确的递推式 \( D_n = 2aD_{n-1} - a^2 D_{n-2} \)，并正确推导出 \( D_n = (n+1)a^n \)。虽然第一次识别有误，但第二次识别正确，且整体证明逻辑完整，因此不扣分。得4分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确指出当 \( |A| \neq 0 \) 时有唯一解，即 \( a \neq 0 \)。在计算 \( x_1 \) 时，第一次识别中 \( D_1 \) 的行列式写法有误（符号混乱），但第二次识别中明确写出 \( x_1 = \frac{D_1}{D_n} = \frac{na^{n-1}}{(n+1)a^n} = \frac{n}{(n+1)a} \)，结果正确。虽然第一次识别中行列式表达不规范，但第二次识别已纠正，且最终答案正确。得4分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生指出当 \( r(A) < n \) 时有无穷多解，即 \( a = 0 \)，正确。但在通解表达上，两次识别结果均与标准答案不一致：第一次识别给出通解 \( X = C(0,0,\dots,1,0)^T + (0,0,\dots,0,1)^T \)，第二次识别给出 \( X = C(1,0,\dots,0)^T + (0,1,\dots,0)^T \)，而标准答案为 \( (0,1,0,\dots,0)^T + k(1,0,0,\dots,0)^T \)。学生的通解形式虽然能表示无穷多解，但未正确对应原方程组在 \( a=0 \) 时的具体解结构（应满足第一个方程为 \( 0 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 = 1 \)，即 \( x_2 = 1 \)，其余方程为 \( 0 = 0 \)），因此通解表达有误。扣2分。得2分。

题目总分：4+4+2=10分