评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案中，第一问的推导过程与标准答案思路不同，但最终结果正确。学生将 \( f(x) \) 拆分为 \( \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} + \frac{x}{\sin x} \)，然后合并为 \( \frac{x - \sin x}{x \sin x} + \frac{x}{\sin x} \)，再分别求极限。在求 \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^2} \) 时使用了洛必达法则（或等价无穷小展开），得到 0，而 \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \)，因此 \( a = 1 \)。整个过程逻辑正确，计算无误。虽然与标准答案的合并通分方式不同，但思路正确，不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

第二问中，学生正确写出 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-a}{x^k} \) 的表达式，通过通分化简得到 \( \lim_{x \to 0} \frac{x + x^2 - \sin x - x \sin x}{x \sin x \cdot x^k} \)，并进一步化为 \( \lim_{x \to 0} \frac{(x+1)(x-\sin x)}{x^{k+2}} \)。注意到 \( x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3 \)，因此得到 \( k+2 = 3 \)，即 \( k = 1 \)。推导过程完整，与标准答案一致，逻辑正确。得5分。

题目总分：5+5=10分