评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生正确构造了函数 \(f_n(x)\)，并验证了在区间 \([\frac{1}{2},1]\) 上连续，计算了 \(f_n(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2^n} < 0\)，但计算 \(f_n(1)\) 时出现错误：标准答案为 \(f_n(1)=n-1 > 0\)，而学生写成了 \(n+1 > 0\)（第一次识别）或 \(n+1 > 0\)（第二次识别）。虽然数值错误，但符号正确且不影响零点定理的应用（因为 \(f_n(1) > 0\) 仍成立），且后续单调性证明正确。考虑到识别可能将“n-1”误写为“n+1”，且核心逻辑无误，此处不扣分。因此本部分得满分5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生证明了数列 \(\{x_n\}\) 的单调递减性和有界性，从而极限存在，思路正确。但在求极限值时，由等式 \(\frac{x_n(1-x_n^n)}{1-x_n}=1\) 直接令 \(n \to \infty\) 得到 \(\frac{A}{1-A}=1\)，这一步缺少严谨性：需要说明当 \(n \to \infty\) 时 \(x_n^n \to 0\)（因为 \(x_n \in (\frac{1}{2},1)\) 且单调递减趋于某极限 \(A \le 1\)，实际上可证 \(A < 1\)，否则级数发散；更严谨地，由单调有界可知 \(A \ge \frac{1}{2}\)，且若 \(A=1\) 则左边趋于无穷，矛盾，故 \(A < 1\)，从而 \(x_n^n \to 0\)）。学生默认了 \(x_n^n \to 0\) 而未加证明，属于逻辑跳跃。标准答案使用了夹逼定理严格证明了 \(x_n \to \frac{1}{2}\)，而学生的解法在关键步骤上不完整。因此扣2分。本部分得4分。

题目总分：5+4=9分