评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答给出了最终结果：\(\frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1}-\frac{1}{6}(e^{x}-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\sqrt{e^{x}-1}+C\)。

标准答案为：\(\frac{1}{2}\left(e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x}-1}-\frac{1}{3}\left(e^{x}-1\right)^{\frac{3}{2}}-\sqrt{e^{x}-1}\right)+C\)。

将学生答案展开：\(\frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1} - \frac{1}{6}(e^{x}-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{e^{x}-1} + C\)。

将标准答案展开：\(\frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1} - \frac{1}{6}(e^{x}-1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{e^{x}-1} + C\)。

两者完全一致。虽然学生的解题过程描述与标准答案在细节表述上略有差异（例如标准答案第一步写为\(\frac{1}{2} \int \arctan \sqrt{e^{x}-1} d e^{2 x}\)，而学生写为\(\frac{1}{2}\int\arctan\sqrt{e^{x}-1}de^{2x}\)，本质相同），且学生的过程描述中存在一些笔误或表述不严谨的地方（例如“\(\frac{1}{4}\int\frac{t}{\sqrt{t - 1}}dt\)”这一步的推导中间有跳跃，但最终积分计算正确），但根据评分要求，思路正确不扣分，且最终结果正确。因此，本题应得满分10分。

题目总分：10分