评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一部分求解 \(f(x)\) 的过程基本正确。变量代换、求导、解微分方程等关键步骤与标准答案一致，最终得到 \(f(x)=2a(1-e^{-x})\)，这与标准答案 \(f(x)=e^{-x}(2ae^{x}-2a)\) 等价。但在第一次识别结果中，学生将原方程写为 \(2ax^{2} = \int_{0}^{x} f(t) dt + x\int_{0}^{x} f(u) du - \int_{0}^{x} u f(u) du\)，而原题为等于 \(ax^{2}\)，此处多写了一个系数2，但在后续求导中并未使用这个错误的系数（后续推导中仍按 \(2ax\) 处理，与标准答案一致），这可能是识别错误或笔误。根据“禁止扣分”原则，若判断为误写则不扣分。整体思路和最终结果正确，因此不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

第二部分利用 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上的平均值为1，即 \(\int_{0}^{1} f(x) dx = 1\) 来求 \(a\)。学生代入 \(f(x)=2a(1-e^{-x})\) 并计算定积分。在第一次识别中，积分计算过程有误：\((2ax + 2a e^{-x})|_{0}^{1}\) 写错了被积函数的原函数（应为 \(2a(x + e^{-x})\)），且计算结果 \(2ae - 1 = 1\) 错误。但在第二次识别中，积分计算正确：\(2a\int_{0}^{1}(1 - e^{-x})dx = 2a\left[x + e^{-x}\right]_{0}^{1} = 2a e^{-1}\)，并正确解得 \(a = \frac{e}{2}\)。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，第二部分应视为正确。得5分。

题目总分：5+5=10分