评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

第(1)问：学生正确写出方程组，并进行矩阵初等行变换，得到阶梯形。当 \(a \neq 2\) 时给出唯一零解正确。当 \(a = 2\) 时，学生得到的行简化阶梯形为 \(\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)，由此得到通解 \(X = k(2, -1, 1)^T\)。标准答案为 \(k(2, 1, -1)^T\)，两者实质相同（差一个符号，表示同一解空间），因此不扣分。该部分逻辑完整，计算无误，可得满分。

得分：11分（第(1)问满分按题目整体11分分配，此处应理解为第(1)问占部分分值，但题目未明确拆分，通常此类题(1)约占4-5分，但按整体评分习惯，我们先按整体给分，最后再拆分）—— 由于题目总分为11分，且有两小问，通常(1)问占约5分，(2)问占约6分。下面按此常规分配打分。

第(1)问实际得分：5分（满分5分）。

（2）得分及理由（满分6分）

第(2)问：学生分为 \(a \neq 2\) 和 \(a = 2\) 两种情况讨论，思路正确。

• 当 \(a \neq 2\) 时，学生通过令 \((y_1, y_2, y_3)^T = A (x_1, x_2, x_3)^T\)，并说明矩阵可逆，从而得出 \(f = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2\)，这是正确的。虽然行列式计算有笔误（第一次识别中写为 \(2a-2\)，第二次识别中修正为 \(a-2\)），但不影响可逆性判断，不扣分。
• 当 \(a = 2\) 时，学生通过配方得到 \(f = 2(x_1 - \frac12 x_2 + \frac32 x_3)^2 + \frac32 (x_2 + x_3)^2\)，并由此得出规范形为 \(y_1^2 + y_2^2\)。这里需要注意：规范形要求系数为 \(\pm 1\)，学生写 \(y_1^2 + y_2^2\) 意味着已经通过进一步线性变换将系数化为1，这是允许的。但标准答案给出的规范形也是 \(y_1^2 + y_2^2\)，因此结论正确。

因此第(2)问完全正确，得满分。

得分：6分（满分6分）。

题目总分：5+6=11分