评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两次识别，我们综合评判。

正确部分：

1. 通过变量代换 \(m=xt\) 得到当 \(x \neq 0\) 时，\(g(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(m)dm\)。这一步正确。
2. 对上述表达式在 \(x \neq 0\) 时求导，得到 \(g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x}f(m)dm+\frac{1}{x}f(x)\)。这一步也正确。
3. 在第二次识别中，学生写出了 \(g'(0)=\frac{1}{2}\)，这与标准答案一致，说明他可能计算了 \(g'(0)\) 的值。

错误与不完整部分：

1. 逻辑错误与无关步骤： 学生后续试图计算 \(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{g^{\prime}(x)-g^{\prime}(0)}{x}\)，这实际上是计算 \(g''(0)\) 的右导数，而题目只要求求 \(g'(x)\) 并证明其在 \(x=0\) 处连续。这是一个严重的逻辑偏离，引入了题目未要求且错误（推导过程混乱）的内容。
2. 证明不完整： 学生没有给出 \(g'(0)\) 的详细计算过程（虽然结果正确），也没有证明 \(\lim_{x \to 0} g'(x) = g'(0)\) 以说明连续性。这是题目要求的关键证明步骤，缺失则无法完成题目要求。
3. 表述混乱： 第二次识别中出现了 \(g^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x}f(xt)d(xt)+\frac{1}{x}f(x)\) 这样的错误表达式，以及 \(g^{\prime}(0)=\lim_{t\rightarrow0}g(t)=\frac{1}{2}\) 这样含义不明的式子，表明学生对过程的理解和表述存在混乱。

扣分分析：

• 学生正确完成了 \(g(x)\) 的变量代换和 \(g'(x) (x \neq 0)\) 的求解，这部分是本题的核心步骤之一，应给予大部分分数。
• 但是，学生未能完整地、逻辑清晰地证明 \(g'(x)\) 在 \(x=0\) 处的连续性。他给出了 \(g'(0)\) 的正确结果，但没有展示利用已知极限和洛必达法则的推导过程，更重要的是完全没有进行极限相等的证明。...