评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

得分：4分

理由：

• 学生正确指出 \(A^T\) 是 3×4 矩阵，且由 \(\beta\) 是基础解系推出 \(r(A^T)=3\)，进而说明 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 线性无关。这部分逻辑正确，得3分。
• 学生指出 \(A^T\beta = 0\) 意味着 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 与 \(\beta\) 正交，这是正确的观察，得1分。
• 逻辑错误扣分： 学生直接由“正交”推出“线性无关”，这个推理不完整且跳跃。在标准答案中，需要构造线性组合并利用正交性证明系数全为零。学生缺少这个关键的证明步骤，因此扣2分。

（2）得分及理由（满分6分）

得分：2分

理由：

• 学生正确理解到 \(A^T\beta = 0\) 等价于 \(\beta^T A = 0\)，因此 \(A\) 的列向量是方程 \(\beta^T x = 0\) 的解。这个思路正确，得1分。
• 学生写出了方程 \((1,2,-1,3)x=0\)，并给出了三个解向量 \(x_1, x_2, x_3\)，得1分。
• 逻辑错误扣分：
  1. 解向量 \(x_1 = (10,1,0)^T\) 的维数错误，应是4维向量，此处写成3维，导致后续矩阵构造维度错误。扣2分。
  2. 最终给出的矩阵 \(A = \begin{pmatrix}1&-2&-3\\0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) 中，第一列 \((1,0,1,0)^T\) 并不满足方程 \(\beta^T x = 0\)（因为 \(1*1+2*0+(-1)*1+3*0 = 0\) 成立，但第二列 \((-2,1,0,0)^T\) 满足，第三列 \((-3,0,0,1)^T\) 满足）。然而，由于第一列维数错误（源于\(x_1\)的错误），且矩阵的列向量组合并非全部来自其给出的解向量（给出的\(x_1\)是3维，无法直接作为4维列），整个构造存在根本性错误。扣2分。
• 总计扣4分，本部分得2分。

题目总分：4+2=6分