评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为“z”。我们需要计算表达式 \(2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}\)，其中 \(z=y f(\frac{y^{2}}{x})\)。

首先计算偏导数： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot f'(\frac{y^2}{x}) \cdot (-\frac{y^2}{x^2}) = -\frac{y^3}{x^2} f'(\frac{y^2}{x}) \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = f(\frac{y^2}{x}) + y \cdot f'(\frac{y^2}{x}) \cdot (\frac{2y}{x}) = f(\frac{y^2}{x}) + \frac{2y^2}{x} f'(\frac{y^2}{x}) \] 代入表达式： \[ \begin{aligned} 2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y} &= 2x \cdot \left( -\frac{y^3}{x^2} f'(\frac{y^2}{x}) \right) + y \cdot \left( f(\frac{y^2}{x}) + \frac{2y^2}{x} f'(\frac{y^2}{x}) \right) \\ &= -\frac{2y^3}{x} f'(\frac{y^2}{x}) + y f(\frac{y^2}{x}) + \frac{2y^3}{x} f'(\frac{y^2}{x}) \\ &= y f(\frac{y^2}{x}) \end{aligned} \] 因此，最终结果为 \(y f(\frac{y^{2}}{x})\)，即 \(z\) 本身。所以学生答案“z”在数学上是正确的。

根据打分要求：思路正确不扣分。学生答案简洁且正确，应得满分。

得分：4分。

题目总分：4分