评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

本题满分11分。学生作答的整体思路正确：通过设定变换 \(u = v e^{ax+by}\)，计算 \(u\) 关于 \(x, y\) 的一阶和二阶偏导数，代入原方程，然后整理并令 \(v\) 的一阶偏导项系数为零，从而解出 \(a, b\)。这是求解此类问题的标准方法。

然而，在具体计算和整理过程中，学生的两次识别结果都存在明显的逻辑错误和计算错误：

1. 二阶偏导数计算有误但未影响核心逻辑：学生写出了 \(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\) 和 \(\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\) 的表达式，但展开式中有重复项（如 \(\frac{\partial v}{\partial x}\cdot e^{ax+by}\cdot a\) 出现了两次），这属于书写不规范，但最终合并后系数正确（应为 \(2a\frac{\partial v}{\partial x}e^{ax+by}\) 和 \(a^2 v e^{ax+by}\) 等），此处不视为影响后续的关键逻辑错误。
2. 代入原方程后的整理过程存在严重错误：
   • 在第一次识别中，代入后的表达式不完整且有“\(\cdots\)”，无法判断后续推导。
   • 在第二次识别中，代入后的表达式为：
     \([2(\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}+2a\frac{\partial v}{\partial x}+a^2 v) - 2\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}+2b\frac{\partial v}{\partial y}+v b^{2} + 3\frac{\partial v}{\partial x}+3a v+3\frac{\partial v}{\partial y}+3b v]e^{ax+by}=0\)
     这里对 \(-2\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\) 项的展开完全错误。正确的展开应为 \(-2(\frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}+2b\frac{\partial v}{\partial y}+b^2 v)\)。学生的式子中“\(-2\frac{\pa...