评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生正确应用积分中值定理得到存在 \(\xi_1 \in (0,1)\) 使得 \(f(\xi_1)=1\)，然后利用 \(f(1)=1\) 和罗尔定理得到存在 \(\xi \in (\xi_1,1)\) 使得 \(f'(\xi)=0\)。思路清晰，推理正确。但需注意积分中值定理要求函数连续，题目只给出二阶导数存在，因此连续条件满足，可以使用。此处不扣分。

得分：5分。

（II）得分及理由（满分6分）

学生试图通过拉格朗日中值定理得到 \(f'(\xi_2)>1\)，并利用已得的 \(f'(\xi)=0\) 构造辅助函数 \(F(x)=f'(x)+2x\)，但后续推导出现混乱。学生写出的两个带拉格朗日余项的泰勒展开式：

\(f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+\frac{f''(\eta_1)}{2}x^2=0\)

\(f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+\frac{f''(\eta_2)}{2}(1-x)^2=1\)

意图不明，且未与目标结论 \(f''(\eta)<-2\) 建立有效联系。实际上，正确的证明思路通常是在区间 \([0,\xi_1]\) 和 \([\xi_1,1]\) 上分别用拉格朗日中值定理得到两点导数值，然后利用导数的拉格朗日中值定理（即 \(f''(\eta)=\frac{f'(\xi)-f'(\xi_2)}{\xi-\xi_2}\) ）并结合已知条件导出 \(f''(\eta)<-2\)。学生作答未完成有效证明，逻辑断裂，因此不能给满分。

得分：2分（给予部分分数是因为正确得到了 \(f'(\xi_2)>1\) 和 \(f'(\xi)=0\)，这是关键步骤，但后续证明不完整且存在错误推导）。

题目总分：5+2=7分