2019年考研数学（二）考试试题 - 第22题回答

好的，我们先分析题目要求与标准答案，再对照学生的两次识别结果进行评分。 --- **题目要求** 1. 向量组Ⅰ与Ⅱ等价 ⇔ 它们能互相线性表示 ⇔ 秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表示（对向量个数相同的情况，等价于它们生成的向量空间相同，即秩相等且秩等于向量组的秩）。 2. 已知两个向量组各有 3 个向量，所以等价 ⇔ 秩相等且秩等于 3 时显然等价；秩相等且秩小于 3 时，还要检查它们互相线性表示（但题中参数化后，一般只要秩相等且一个可由另一个线性表示即可，但这里参数 a 会影响是否等价）。 3. 标准答案给出：当 \(a \neq -1\) 时等价。 - 当 \(a = -1\) 时，秩为 2，但可能两个向量组生成的子空间不同（需要验证），标准答案说此时不等价。 - 当 \(a = 1\) 时，秩为 2，但两个向量组等价（标准答案允许此时等价，且 \(\beta_3\) 表示不唯一）。 - 当 \(a \neq \pm 1\) 时，秩为 3，显然等价，且 \(\beta_3\) 表示唯一。 --- **学生作答分析** 学生把向量组Ⅰ写成矩阵 \(I\)（按列排列），向量组Ⅱ写成矩阵 \(II\)（但注意：第一次识别中 \(II\) 的矩阵写错了行顺序，把 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 的坐标按行排列时顺序有误，例如第一行是 \(1, 2, 3\) 明显不对，应该是 \(1, 1, a+3\) 等）。 第二次识别中 \(II\) 矩阵第一行是 \(1, 0, 1\)（对应 \(\beta_1\) 的横排？），其实学生把向量组的坐标按列排成矩阵时，矩阵的每一列是一个向量，但学生写的是按行排列向量坐标，并且行列搞混了。 不过从后续计算看，学生似乎把两个向量组的矩阵都当作 3×3 矩阵（每行是一个向量的坐标？），这样会改变向量组实际张成的空间（因为矩阵转置会改变列空间）。这是一个严重的**概念错误**： 向量组Ⅰ：\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 是三维列向量，应把它们作为列构成矩阵 \(A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]\)，秩是列秩。 学生却写成： \[ I = \be...

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