评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“-6”。

首先，分析题目。已知行列式： \[ D_1 = \begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix} = 4 \] 要求计算行列式： \[ D_2 = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0 \end{vmatrix} \]

解题思路：观察两个行列式的关系。将 \(D_1\) 的行进行重排可以得到 \(D_2\) 的一部分。具体来说，将 \(D_1\) 的第一行和第三行交换，得到： \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} \] 这个行列式与 \(D_1\) 相差一个行交换的符号，即值为 \(-4\)。但它与目标 \(D_2\) 仍不完全相同。目标 \(D_2\) 的第二行是 \((1, 2, a)\)，第三行是 \((a, b, 0)\)。而上面这个行列式的第二行是 \((1, a, 1)\)，第三行是 \((a, 0, 1)\)。

进一步分析，可以将上面行列式的第二行和第三行交换，再调整列，或者利用行列式的性质直接建立联系。更直接的方法是：将 \(D_1\) 按第一行展开，可以求出 \(a\) 的值。计算 \(D_1\)： \[ D_1 = a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 2 & a \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = a(a^2 - 2) + (2 - a) = a^3 - 2a + 2 - a = a^3 - 3a + 2 \] 已知 \(D_1 = 4\)，所以： \[ a^3 - 3a + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a^3 - 3a - 2 = 0 \] 通过试根，\(a = 2\) 是根：\(8 - 6 - 2 = 0\)。因式分解：\((a-2)(a^...