评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答分为两次识别。整体思路正确：先求一阶偏导数找驻点，再求二阶偏导数用判别式判断极值，最后计算极值。

核心步骤分析：

1. 一阶偏导数计算正确：\(f_x' = e^{\cos y} + x\)，\(f_y' = -x e^{\cos y} \sin y\)。
2. 二阶偏导数计算基本正确：\(A = f_{xx}'' = 1\)，\(B = f_{xy}'' = -e^{\cos y} \sin y\)，\(C = f_{yy}'' = -x e^{\cos y} \cos y + x e^{\cos y} \sin^2 y\)。
3. 求驻点过程：
   • 第一次识别结果中，驻点写为 \(x=-e, y=\varnothing k\pi (k \in N^+)\)，表述不清晰且有误（如 \(N^+\) 不含0，且 \(y\) 表达式不规范），但后续代入判别和极值计算时，实际上使用了 \(y=k\pi\) 并得到了正确极小值结果。
   • 第二次识别结果中，学生注意到 \(y=k\pi\) 代入 \(f_x'=0\) 会得到 \(x=-e^{\cos(k\pi)} = -e^{(-1)^k}\)，即 \(x\) 取值与 \(k\) 奇偶有关。但学生在分析中认为“原答案 \(y=k\pi\) 有误”，并自行改为 \(y=2k\pi\) 且 \(x=-e\)。这一改动虽然得到了一个正确的极小值点（对应标准答案中 \(k\) 为偶数的情形），但遗漏了 \(k\) 为奇数情形的讨论，且未说明为何舍去。从寻找所有驻点的完整性角度看，此处逻辑有缺失。
4. 极值判别：
   • 第一次识别中，直接代入 \(x=-e, y=k\pi\) 计算 \(AC-B^2 = e^2 > 0\) 并判断为极小值。这里没有区分 \(k\) 的奇偶性，而实际上当 \(k\) 为奇数时，\(x = -e^{-1}\)，代入计算 \(AC-B^2\) 应为负值（非极值点）。学生未加区分，直接得出 \(e^2>0\) 的结论，这一计算过程不严谨，存在逻辑错误。
   • 第二次识别中，学生将点限定为 \((x=-e, y=2k\pi)\)，计算得 \(AC-B^2 = e^2 > 0\) 且 \(A>0\)，判断为极小值。这个计算对于该特定点（即标准答案中 \...