评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第1次识别与第2次识别在积分计算过程中均存在逻辑错误。题目要求计算面积 \(S = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} dx\)，标准答案通过变量代换等方法正确求得结果为 \(\ln(1+\sqrt{2})\)。而学生作答试图使用分部积分法，但步骤存在根本性错误：

1. 第一步变形 \(\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} d\ln x\) 虽然形式正确（因为 \(d\ln x = \frac{dx}{x}\)），但后续分部积分时，对 \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) 求导错误。第1次识别中求导结果写为 \(\frac{-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)，第2次识别中写为 \(\frac{-\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}\)，两者均不正确（正确导数应为 \(-\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}\)）。
2. 由于求导错误，导致后续积分表达式 \(\frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x^2)^{3/2}} dx\) 虽然形式类似，但推导过程错误，且该积分并非原面积积分的等价简化，反而引入了更复杂的含 \(\ln x\) 的积分，无法得出正确结果。
3. 学生作答未完成计算，未得到最终数值结果。整个过程思路偏离，关键步骤存在数学推导错误。

因此，该小题解答逻辑错误严重，未得出正确结果。考虑到学生写出了正确的面积积分表达式 \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} dx\)，可给予少量步骤分。扣分细则：积分表达式正确得1分，后续推导全错扣5分。

得分：1分

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中，两次识别结果均只包含第(1)问的解答，完全没有涉及第(2)问（求旋转体体积）的任何内容。因此，第(2)问得分为0分。

得分：0分

题目总分：1+0=1分