评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

第1次识别结果中，学生给出的矩阵 \(A=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\) 明显错误，不仅维度不对（应为3×3），而且元素也不对。第2次识别结果中，学生正确写出 \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\)，与标准答案一致。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，本题不扣分。得4分。

（2）得分及理由（满分8分）

第2次识别结果中，学生正确写出特征多项式 \((\lambda E - A)\) 并得到特征值 \(\lambda = 2, -1, -2\)（与标准答案顺序不同但数值一致，不扣分）。但在求特征向量时存在多处错误：

• 对于 \(\lambda = -1\)，学生给出的矩阵 \(\vert -E - A\vert\) 写成了矩阵形式而非行列式，且得到的特征向量 \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) 是错误的（代入验证不满足方程）。
• 对于 \(\lambda = -2\)，学生给出的行变换结果 \(\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&0\end{vmatrix}\) 与标准答案不一致，且特征向量 \(\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\) 虽然与标准答案的 \((0,1,-1)^T\) 相差一个负号（本质相同），但结合上下文，其后续矩阵 \(P\) 的构造中使用了 \(\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\)，可以接受。
• 对于 \(\lambda = 2\)，特征向量 \(\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\) 正确。
• 最终构造的 \(P = \begin{pmatrix}4&0&0\\3&0&-1\\1&1&1\end{pmatrix}\) 是错误的，第二列和第三列特征向量与前面所求不一致，且矩阵 \(P\) 不可逆（第二列全零）。对角矩阵写为 \(\begin{pmatrix}2&\\&-1\\&&-2\end{pmatrix}\) 形式正确但数值对应关系错误。

由于特征值求解正...