评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生得分：2分

理由：
1. 学生正确理解了题目条件，并试图使用零点定理证明。这是正确的思路起点。
2. 但是，学生的论证存在严重的逻辑错误。学生写道“设 \(A = \lim_{x \to 0^+} f(x) < 0\)”，并由此得出 \(A \cdot f(1) < 0\)，从而应用零点定理。这是错误的。
- 错误一：由条件 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} < 0\) 并不能直接推出 \(\lim_{x \to 0^+} f(x) < 0\)。该极限是“0/0”型，因为当 \(x \to 0^+\) 时，分母趋于0。极限存在且为负数，只能说明在0点附近 \(f(x)\) 与 \(x\) 同号（为负），但不能断定 \(f(0)\) 的极限值是一个负数 \(A\)。实际上，由该条件结合 \(f\) 的连续性（二阶可导蕴含连续），可以推出 \(f(0)=0\)。学生这一步推理逻辑错误，属于对极限概念理解不清。
- 错误二：即使假设 \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = A < 0\) 成立，那么 \(f\) 在 \(x=0\) 处就不连续（因为 \(f(0)\) 可能不等于 \(A\)），这与 \(f\) 在 \([0,1]\) 上二阶可导（从而在 \(x=0\) 连续）矛盾。学生没有意识到这个矛盾。
- 错误三：应用零点定理需要在闭区间上连续，并满足端点函数值异号。学生错误地使用了 \(A\)（一个极限值）和 \(f(1)\) 来应用零点定理，这是无效的，因为 \(A\) 不是函数在端点 \(x=0\) 的值。
3. 尽管思路方向（找异号点用零点定理）正确，但核心推导步骤存在根本性逻辑错误，导致证明无效。因此不能给满分。考虑到学生抓住了“使用零点定理”这个关键点，并正确指出了 \(f(1)>0\)，给予部分分数2分。

（II）得分及理由（满分5分）

学生得分：3分

理由：
1. 学生的证明结构基本正确：构造 \(F(x) = f(x)f'(x)\)，利用第一问的根 \(\xi\) 和由条件推出的 \(f(0)=0\)，得到 \(F(0)=F(\xi)=0\)。然后试图利用 \(f(0)=f(\xi)=0\) 和罗尔定理找到 \(f'(\eta)=0\)，从而得到第三个零点 \(F(\eta)=0\)。最后在三个零点构成的区间上对 \(F(x)\) 应用罗尔定理得到 \(F'(x)=0\) 的两个根。这个思路与标准答案一致。
2. 但是，证明存在一个关键缺陷：学生得出 \(f(0)=0\) 的依据是“由 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} \leq 0\) 可知 \(f(0)=0\)”。这个推理是不严谨的。正确的推理应该是：由二阶可导知 \(f\) 在 \(x=0\) 连续，且极限 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}\) 存在为负数。如果 \(f(0) \ne 0\)，则该极限为无穷大（若 \(f(0)>0\)）或不存在有限值（若 \(f(0)<0\)），与条件矛盾，故必有 \(f(0)=0\)。学生直接“可知”跳跃了必要的逻辑步骤。不过，考虑到这是证明中的一个中间结论，且最终结论的推导结构正确，此处扣1分。
3. 另一个小问题：在第二次识别结果中，学生写的是“由 \(\lim_{x \to 0^{+}}\frac{...