评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生答案：

• 正确指出由 α₃ = α₁ + 2α₂ 可得 |A| = 0，从而 A 有一个特征值为 0。
• 正确利用 A 有三个不同特征值，推出另外两个特征值非零且互异。
• 但最后一句“因此 A 有两个不同的特征向量”表述不严谨（特征向量有无穷多个，应说“两个非零特征值对应两个线性无关的特征向量”，或直接利用相似对角化得到 r(A)=2）。不过核心逻辑正确：因为三个特征值中只有一个 0，所以非零特征值个数为 2，从而秩为 2。
• 整体推理与标准答案等价，结论正确。

扣分：无。虽然表述略有瑕疵，但核心逻辑完整且正确，不扣分。

得分：5 分。

（II）得分及理由（满分6分）

学生答案：

• 正确写出 β = α₁ + α₂ + α₃ 对应的系数向量 (1,1,1)ᵀ，并指出它是 Ax = β 的一个特解。
• 由 α₃ = α₁ + 2α₂ 得到齐次方程的基础解系时，学生写的是 k(-1,2,1)ᵀ，而标准答案是 (1,2,-1)ᵀ。注意 (-1,2,1)ᵀ 满足 A·(-1,2,1)ᵀ = -α₁ + 2α₂ + α₃ = -α₁ + 2α₂ + (α₁ + 2α₂) = 0，确实也是解，且与 (1,2,-1)ᵀ 只差一个常数倍（-1 倍），因此同样是基础解系。
• 因此通解形式 k(-1,2,1)ᵀ + (1,1,1)ᵀ 与标准答案等价，完全正确。

扣分：无。答案正确，表达清晰。

得分：6 分。

题目总分：5+6=11分