评分及理由

（1）求a的值（满分2分）

学生正确得出 |A|=0，并通过行列式计算得到 a=2。计算过程无误，思路与标准答案一致。得2分。

（2）求特征值（满分2分）

学生正确写出特征多项式并计算出特征值 λ₁=6，λ₂=-3，λ₃=0。计算正确，得2分。

（3）求正交矩阵Q（满分7分）

学生正确求出了所有特征值对应的特征向量，并进行了单位化。构造的正交矩阵 Q 与标准答案本质相同，只是特征向量的排列顺序不同（学生将 λ₁=6 对应的特征向量放在第一列，λ₂=-3 对应的放在第二列；而标准答案将 λ₁=-3 放在第一列，λ₂=6 放在第二列）。由于正交变换下标准型的系数顺序可以调整，且题目未指定顺序，因此该顺序差异不影响正确性。单位化计算正确。但需注意，学生给出的 Q 矩阵中，第二列向量 (1/√3, -1/√3, 1/√3)^T 对应的是 λ₂=-3 的特征向量，而第一列对应 λ₁=6。在最终的标准型中，系数的顺序应与 Q 中特征向量的列顺序对应。学生的作答整体思路和计算均正确。因此，本部分得7分。

题目总分：2+2+7=11分