评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“0”。标准答案为“-3/2”。

该极限存在的条件是当 \(x \to 0\) 时，表达式 \(\frac {\ln (1+e^{\frac {3}{x}})}{\ln (1+e^{\frac {2}{x}})}+a[x]\) 的极限存在。分析过程如下：

1. 当 \(x \to 0^+\) 时，\(\frac{3}{x} \to +\infty\)，\(e^{3/x} \to +\infty\)，故 \(\ln(1+e^{3/x}) \sim \frac{3}{x}\)。同理，\(\ln(1+e^{2/x}) \sim \frac{2}{x}\)。因此，分式部分 \(\sim \frac{3/x}{2/x} = \frac{3}{2}\)。同时，\([x] = 0\)（因为 \(x>0\) 且趋于0时，\([x]=0\)）。所以，右极限为 \(\frac{3}{2} + a \cdot 0 = \frac{3}{2}\)。
2. 当 \(x \to 0^-\) 时，\(\frac{3}{x} \to -\infty\)，\(e^{3/x} \to 0\)，故 \(\ln(1+e^{3/x}) \sim e^{3/x}\)。同理，\(\ln(1+e^{2/x}) \sim e^{2/x}\)。因此，分式部分 \(\sim \frac{e^{3/x}}{e^{2/x}} = e^{1/x}\)。由于 \(x \to 0^-\)，\(1/x \to -\infty\)，所以 \(e^{1/x} \to 0\)。同时，\([x] = -1\)（因为 \(x<0\) 且趋于0时，\([x]=-1\)）。所以，左极限为 \(0 + a \cdot (-1) = -a\)。
3. 要使极限存在，必须左右极限相等，即 \(\frac{3}{2} = -a\)，解得 \(a = -\frac{3}{2}\)。

学生答案“0”与正确结果不符，因此本题得0分。

题目总分：0分