评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中，首先指出 \(A^T\) 是 3×4 矩阵，\(\beta\) 是基础解系，从而推出 \(r(A^T)=3\)，进而说明 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关，这一步正确。接着提到 \(A^T\beta=0\)，即 \(\alpha_i^T\beta=0\)，说明 \(\beta\) 与每个 \(\alpha_i\) 正交。最后直接断言“故 \(\beta\) 与 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 也线性无关”。

但证明线性无关需要严格论证：应设线性组合为零，利用正交性推出系数全为零。学生仅从正交直接推出线性无关，逻辑跳跃，未完成严格证明。因此扣去主要证明步骤分。

得分：3分（满分6分）。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确由 \(A^T\beta=0\) 得到 \(\beta^T A=0\)，从而 \(A\) 的列向量是 \(\beta^T x=0\) 的解。并给出了方程 \((1,2,-1,3)x=0\) 的三个线性无关解 \(x_1,x_2,x_3\)，思路正确。

但在构造矩阵 \(A\) 时，第一次识别给出的矩阵为 \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)，该矩阵第三行全零，导致列向量线性相关（秩小于3），不满足（1）中已证的 \(r(A)=3\) 的条件，因此不符合题意。

第二次识别给出的矩阵为 \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)，该矩阵的列向量确实是所给解向量，且秩为3，满足要求。因此以第二次识别为准，该答案正确。

由于存在一次错误答案，但最终识别出正确矩阵，且核心思路和计算正确，不扣分。

得分：6分（满分6分）。

题目总分：3+6=9分