评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了一阶线性微分方程的求解公式，计算过程清晰，并正确利用初始条件确定了常数。最终得到的特解 \(y(x)=\sqrt{x}e^{\frac{1}{2}x^{2}}\) 与标准答案 \(y(x)=\sqrt{x} e^{\frac{x^{2}}{2}}\) 完全一致（\(\frac{1}{2}x^{2}\) 与 \(\frac{x^{2}}{2}\) 等价）。因此，本部分解答完全正确。

得分：5分

（II）得分及理由（满分5分）

学生正确写出了旋转体体积公式 \(V = \pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\)，但在其作答中误写为 \(V = 2\pi\int_{1}^{2}f^{2}(x)dx\)，即多了一个系数2。然而，在后续的计算中，他实际执行的积分是 \(\int_{1}^{2} x e^{x^2} dx\)，并正确计算得到 \(\frac{1}{2}(e^4 - e)\)。最后，他将这个结果代入了他所写的公式：\(V = 2\pi \times \frac{1}{2}(e^4 - e) = (e^4 - e)\pi\)。这个最终结果与标准答案 \(\frac{1}{2}\pi(e^4 - e)\) 不一致，因为标准答案的系数是 \(\frac{1}{2}\pi\)，而学生得到的是 \(\pi\)。

错误根源在于体积公式书写错误（多乘了2），但后续计算逻辑（积分运算）本身正确。由于公式错误导致最终答案错误，属于逻辑错误。根据评分要求，应扣分。

得分：2分（扣3分，因为核心公式错误导致最终答案错误，但积分计算过程正确给予部分分数）

题目总分：5+2=7分