评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分为10分。学生作答的整体思路正确：采用极坐标变换，利用对称性简化积分，并最终计算定积分。然而，在关键步骤中存在两处逻辑错误，导致最终答案错误。

1. 区域边界的确定错误：题目给出的区域条件为 \((x^{2}+y^{2})^{3} \le y^{4}\)，在极坐标下应为 \(r^6 \le r^4 \sin^4 \theta\)，即 \(r^2 \le \sin^4 \theta\) 或 \(r \le \sin^2 \theta\) (因为 \(r \ge 0\))。学生作答中，第一次识别结果写为 \(r \le \sin^{2}\theta\)，这是正确的。但第二次识别结果及后续计算中，多处将积分上限误写为 \(\sin 2\theta\)，这是一个严重的逻辑错误，改变了积分区域，导致后续计算全部错误。
2. 对称性应用与表达式混淆：第一次识别结果中，在应用对称性后，出现了表达式 \(\iint_{D}\frac{x^{4}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}d\sigma = 0\)，这显然是识别错误或笔误（应为 \(\iint_{D}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}d\sigma = 0\)）。虽然根据上下文可判断其本意是利用被积函数中关于 \(x\) 的奇偶性，但随后的计算中，将原积分拆分为 \(\overline{y^{1}}\) 的计算过程，其被积函数和积分限的书写存在不一致和混乱。
3. 计算过程与最终结果：尽管计算过程（从 \(\int \frac{1}{2}\sin^5\theta d\theta\) 开始）在方法上是正确的，但由于基于错误的积分上限 \(\sin 2\theta\) (或中间步骤的不一致)，最终得到了错误的结果 \(-\frac{43}{60}\sqrt{2}\)，而标准答案为 \(\frac{43 \sqrt{2}}{120}\)。两者数值上相差一个负号，且绝对值差一倍（\(43/60 = 86/120\)），这直接源于区域边界错误导致的积分限和积分表达式错误。

鉴于解题主体框架（极坐标、对称性）正确，但核心步骤（区域转换）出现重大错误，并导致最终答案错误，应扣除较多分数。给予该答案 4分。

题目总分：4分